Kleisli Triple
クライスリトリプルとモナドは互いに変換可能
定義
前提として圏$ \mathscr{A}と、その対象$ A,B,TA,TBが登場人物
3つ組$ (T,\eta,(-)^*)
関手$ T:\mathscr{A}\to\mathscr{A}
自然変換$ \eta
これは射の族$ \{\eta_A:A\rightarrow TA|A\in \mathrm{ob}_\mathscr{A}\}
https://gyazo.com/4aa65f77d2e109476a782d5130c0b67f
写像の族$ (-)^*
これは、射$ f:A\to TBから、射$ f^*:TA\to TBを与える操作
ちゃんと書くと$ \{(-)^*:\mathscr{A}(A,TB)\to \mathscr{A}(TA,TB)|A,B\in\mathrm{ob}_\mathscr{A}\}
この3つ組$ (T,\eta,(-)^*)が以下を満たすとき、クライスリトリプルと呼ぶ
①$ f^*\circ\eta_A=f
②$ \eta_A^*=\mathrm{id}_{TA}
③$ g^*\circ f^*=(g^*\circ f)^*
①$ f^*\circ\eta_A=f
https://gyazo.com/edfa73928882d3885755e545fafe56a3
等式の=は、この図が可換になることを言ってる
②$ \eta_A^*=\mathrm{id}_{TA}
https://gyazo.com/4fac24da15d09b82184b35eb16747b80
①の$ fに$ \eta_Aを代入したものが②になる
等式の=は、この図が可換になることを言ってる
③$ g^*\circ f^*=(g^*\circ f)^*
https://gyazo.com/764a1498fac586303eb1f556cf7d977d
等式の=は、この図が可換になることを言ってる
図で表しづらいので、同じものを表す箇所を緑でなぞっている
緑の矢印と、括弧の中身の部分が同じものを指す
https://www.youtube.com/watch?v=wJJZNNIsWaM